经典例题解析

例题1：已知△ABC中，AB=AC，点D位于BC边上，且BD=DC。求证：AD垂直于BC。

分析：在这个题目中，我们需要证明的是两条直线（AD和BC）之间的垂直关系。由于△ABC是一个等腰三角形，并且点D平分了底边BC，这为我们提供了很好的切入点来应用“截长补短法”。

我们可以尝试延长AD至E点，使得AE等于AD，这样就形成了一个新的三角形AEC。根据作图可知，△ADE≌△ADC（SAS），因此∠EAD=∠DAC。又因为∠EAD+∠DAC=90°（由等腰三角形性质得出），所以∠EAD=45°, ∠DAC=45°。由此可得AD确实垂直于BC。

例题2：在四边形ABCD中，AB=CD，AD≠BC，请问是否存在一条直线能够同时平分这个四边形的面积？

分析：对于这类题目，我们首先要明确什么是“平分面积”的条件——即该直线应该将整个图形分割成两个面积相等的部分。这里可以考虑利用“截长补短法”来构造辅助线解决问题。

假设存在这样的直线EF分别交AB于F，交CD于G，则需要满足AF=FG=GC。为了验证这一点，我们可以先假设存在这样一个情况，并据此推导出相关的比例关系。通过计算发现，当且仅当AB//CD时上述条件才能成立，否则不存在符合条件的直线。

方法总结

“截长补短法”之所以有效，在于它能够帮助我们打破传统思维定式，从不同角度审视问题。无论是处理复杂的几何证明还是代数运算，只要合理运用这一方法，往往都能事半功倍地找到突破口。

需要注意的是，“截长补短法”并非万能钥匙，它更多地适用于那些表面上看似无从下手但实际上隐藏着内在规律的问题。因此，在实际操作过程中，还需要结合具体情况进行灵活调整。

总之，“截长补短法”作为初中数学学习中的一个重要工具，不仅有助于提高学生的逻辑推理能力，还能培养他们面对复杂情况时冷静思考的习惯。希望每位同学都能掌握好这项技能，在未来的数学旅程中越走越远！