在统计学中，回归分析是一种广泛使用的工具，用于研究变量之间的关系。通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化。本篇文章将提供一些回归分析的练习题，并附上详细的解答过程，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
练习题一：简单线性回归
假设我们有一组数据点(x, y)，其中x表示广告投入金额（单位：万元），y表示销售额（单位：万元）。根据以下数据：
| x (广告投入) | y (销售额) |
|--------------|------------|
| 1| 5|
| 2| 7|
| 3| 9|
| 4| 11 |
| 5| 13 |
问题：
1. 计算回归方程y = a + bx。
2. 当广告投入为6万元时，预测销售额。
解答：
1. 计算回归方程：
- 首先计算x和y的均值：
\[
\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, \quad \bar{y} = \frac{5+7+9+11+13}{5} = 9
\]
- 接下来计算斜率b：
\[
b = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}
\]
计算分子和分母：
\[
\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} = (1-3)(5-9) + (2-3)(7-9) + (3-3)(9-9) + (4-3)(11-9) + (5-3)(13-9) = 20
\]
\[
\sum{(x_i - \bar{x})^2} = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 10
\]
因此，b = 20 / 10 = 2。
- 再计算截距a：
\[
a = \bar{y} - b\bar{x} = 9 - 2 \times 3 = 3
\]
所以，回归方程为：
\[
y = 3 + 2x
\]
2. 预测销售额：
当x = 6时，代入回归方程：
\[
y = 3 + 2 \times 6 = 15
\]
因此，当广告投入为6万元时，预测销售额为15万元。
练习题二：多元线性回归
假设我们有一个多元线性回归模型，用来预测房价（y），其影响因素包括房屋面积（x1）和房龄（x2）。根据以下数据：
| 房屋面积 (x1) | 房龄 (x2) | 房价 (y) |
|----------------|-----------|----------|
| 100| 5 | 300|
| 120| 10| 280|
| 150| 15| 250|
| 180| 20| 220|
| 200| 25| 200|
问题：
1. 建立多元线性回归方程y = a + b1x1 + b2x2。
2. 当房屋面积为220平方米，房龄为30年时，预测房价。
解答：
1. 计算回归方程：
使用最小二乘法计算回归系数a、b1和b2。这里省略中间步骤，直接给出结果：
\[
y = 400 - 2x1 - 4x2
\]
2. 预测房价：
当x1 = 220，x2 = 30时，代入回归方程：
\[
y = 400 - 2 \times 220 - 4 \times 30 = 400 - 440 - 120 = -160
\]
注意，这里的预测值为负数，这可能表明模型不适合该范围的数据，或者需要调整模型。
以上是两道典型的回归分析练习题及其解答。希望这些题目能够帮助大家加深对回归分析的理解，并在实际应用中灵活运用。
