在高中数学的学习中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅在理论上有深远的意义，而且在实际应用中也极为广泛。为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，本文将对数学必修4中的平面向量相关公式进行系统性的梳理与总结。

一、基本概念

首先，我们需要明确平面向量的基本定义。向量是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。若两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行，则存在实数$k$使得$\vec{a} = k\vec{b}$。单位向量是模长为1的向量，记作$\hat{e}$。

二、向量运算

1. 加法与减法

向量的加法满足交换律和结合律，即$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。向量减法可视为$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。

2. 数量积（点乘）

设$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。数量积的结果是一个标量，且可以用来判断两向量是否垂直（当$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$时）。

3. 向量积（叉乘）

在二维平面内，向量积的模长等于两向量构成平行四边形的面积，方向由右手定则确定。其计算公式为$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = |x_1y_2 - x_2y_1|$。

三、向量的模与夹角

1. 向量的模：$\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$。

2. 向量的夹角公式：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}$，其中$\theta$为两向量的夹角。

四、重要性质

1. 平行四边形法则：任意两个向量的和可以通过平行四边形的对角线表示。

2. 三角形法则：两个向量首尾相接形成一个封闭三角形，其结果为第三条边对应的向量。

通过以上总结，我们可以看到，平面向量的知识体系既简洁又实用。熟练掌握这些公式和方法，不仅能提高解题效率，还能为后续学习空间向量打下坚实的基础。希望本文能为大家提供一定的帮助！

以上内容基于教材内容整理而成，旨在帮助学生更高效地复习与理解平面向量的相关知识。