大一（上）高等数学课件 —— 微积分第一章课外习题参考答案

在大学学习过程中，高等数学作为一门基础学科，对后续专业课程的学习起着至关重要的作用。尤其对于刚刚步入大学生活的新生来说，掌握好高等数学的基本概念与解题技巧尤为重要。本文将针对微积分第一章的内容，提供一些课外习题的参考答案，帮助同学们更好地理解知识点并提升解题能力。

一、导数与极限

微积分的核心在于研究变化率和累积量，而这一切都离不开导数与极限的概念。第一章通常会涉及函数的连续性、可导性以及基本的求导公式等内容。例如：

1. 习题1：求函数 \( f(x) = x^3 - 4x + 5 \) 在点 \( x=2 \) 处的导数值。

- 解答：首先计算导数 \( f'(x) = 3x^2 - 4 \)，然后代入 \( x=2 \)，得到 \( f'(2) = 3(2)^2 - 4 = 8 \)。

2. 习题2：讨论函数 \( g(x) = |x| \) 在 \( x=0 \) 点是否可导。

- 解答：通过左右导数的定义可以发现，\( g(x) \) 在 \( x=0 \) 处不可导，因为左导数与右导数不相等。

二、不定积分与定积分

除了导数外，不定积分和定积分也是微积分的重要组成部分。它们主要用于解决面积、体积等问题。

3. 习题3：计算不定积分 \( \int (2x + 3) dx \)。

- 解答：利用线性性质和基本积分公式，结果为 \( x^2 + 3x + C \)，其中 \( C \) 为常数。

4. 习题4：求定积分 \( \int_0^1 x e^{x^2} dx \) 的值。

- 解答：采用变量替换法，令 \( u = x^2 \)，则原式变为 \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u du \)，最终结果为 \( \frac{1}{2}(e-1) \)。

三、应用实例

理论知识需要结合实际问题才能真正发挥作用。因此，在完成上述练习后，不妨尝试将所学应用于具体情境中。

5. 习题5：假设某物体沿直线运动，其速度 \( v(t) = t^2 - 4t + 6 \)（单位：m/s），求该物体从 \( t=0 \) 到 \( t=3 \) 秒内的位移。

- 解答：位移等于速度关于时间的定积分，即 \( s = \int_0^3 (t^2 - 4t + 6) dt \)。经过计算，得到位移为 9 米。

通过以上习题及其解答过程，相信同学们能够更加清晰地认识到微积分的重要性，并逐步培养起解决问题的能力。当然，这只是入门阶段的一部分内容，希望各位同学能够在课余时间多加练习，不断深化理解。

最后提醒大家，学习数学切忌死记硬背，而是要注重逻辑推理与思维训练。只有这样，才能在未来的学习和工作中游刃有余！

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