在数学分析中，求导与定积分是两个非常重要的概念。它们不仅是解决许多实际问题的基础工具，也是进一步学习更高级数学知识的重要基石。本文将简要介绍一些常用的求导和定积分公式，帮助读者快速掌握这些基础知识点。
求导公式
1. 幂函数求导
若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)。
例如：\( f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 \)。
2. 指数函数求导
若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)。
若 \( f(x) = a^x \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。
例如：\( f(x) = 2^x \Rightarrow f'(x) = 2^x \ln(2) \)。
3. 对数函数求导
若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
若 \( f(x) = \log_a(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。
例如：\( f(x) = \log_5(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x \ln(5)} \)。
4. 三角函数求导
若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)。
若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。
若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( f'(x) = \sec^2(x) \)。
5. 反三角函数求导
若 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。
若 \( f(x) = \arccos(x) \)，则 \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。
若 \( f(x) = \arctan(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)。
6. 复合函数求导（链式法则）
若 \( y = f(g(x)) \)，则 \( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
例如：若 \( y = (x^2+1)^3 \)，则 \( y' = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x \)。
定积分公式
1. 基本性质
- 线性性：\( \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)。
- 常数倍性质：\( \int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx \)。
- 区间可加性：\( \int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx \)。
2. 常见函数的定积分
- \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) （\( n \neq -1 \)）。
- \( \int e^x dx = e^x + C \)。
- \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)。
- \( \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \)。
- \( \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \)。
3. 换元法
若 \( u = g(x) \)，则 \( \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \)。
例如：计算 \( \int x \sqrt{x+1} dx \)。设 \( u = x+1 \)，则 \( x = u-1 \)，\( dx = du \)，原式变为 \( \int (u-1)\sqrt{u} du \)，继续化简即可。
4. 分部积分法
若 \( u = u(x), v = v(x) \)，则
\[
\int u dv = uv - \int v du
\]
例如：计算 \( \int x e^x dx \)。设 \( u = x, dv = e^x dx \)，则 \( du = dx, v = e^x \)，代入公式得
\[
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C
\]
通过以上公式的学习与应用，我们可以更好地理解和解决涉及求导与定积分的问题。当然，在实际解题过程中，还需要结合具体题目灵活运用这些公式，并注意公式的适用条件和边界情况。希望本文能为读者提供一定的帮助！
