在初中数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点，它不仅在考试中占据较大比重，而且在实际生活中也有广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，本文将提供一份精心挑选的经典练习题，并附上详细的答案解析。
一、基础巩固题
题目1
已知二次函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，求其顶点坐标和对称轴。
解析
二次函数的标准形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)。对于给定的函数 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，我们可以利用公式计算顶点坐标：
- 顶点横坐标 \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \)
- 将 \( x = 2 \) 代入原函数，得到顶点纵坐标 \( y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1 \)
因此，顶点坐标为 \( (2, -1) \)，对称轴为直线 \( x = 2 \)。
题目2
抛物线 \( y = -x^2 + 6x - 8 \) 的开口方向是什么？与 \( x \)-轴有几个交点？
解析
观察二次项系数 \( a = -1 \)，因为 \( a < 0 \)，所以抛物线开口向下。
接下来判断与 \( x \)-轴的交点个数，即解方程 \( -x^2 + 6x - 8 = 0 \)。通过判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 计算：
\[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 36 - 32 = 4 > 0 \]
由于 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不相等的实根，说明抛物线与 \( x \)-轴有两个交点。
二、综合应用题
题目3
某商品的销售利润 \( y \)（单位：万元）与销售量 \( x \)（单位：件）的关系满足 \( y = -2x^2 + 120x - 1500 \)。当销售量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解析
这是一个典型的二次函数最值问题。根据顶点公式，当 \( x = -\frac{b}{2a} \) 时，函数取得最值。对于 \( y = -2x^2 + 120x - 1500 \)，有：
\[ x = -\frac{120}{2 \cdot (-2)} = 30 \]
将 \( x = 30 \) 代入原函数，计算最大利润：
\[ y = -2 \cdot 30^2 + 120 \cdot 30 - 1500 = -1800 + 3600 - 1500 = 300 \]
因此，当销售量为 30 件时，利润最大，最大利润为 300 万元。
题目4
已知二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像经过点 \( (1, 0) \)、\( (2, -3) \) 和 \( (3, 0) \)，求其解析式。
解析
设二次函数的解析式为 \( y = ax^2 + bx + c \)。将已知三点代入，建立方程组：
1. 当 \( x = 1, y = 0 \)：\( a + b + c = 0 \)
2. 当 \( x = 2, y = -3 \)：\( 4a + 2b + c = -3 \)
3. 当 \( x = 3, y = 0 \)：\( 9a + 3b + c = 0 \)
联立方程组解得：
\[ a = 1, b = -4, c = 3 \]
因此，二次函数的解析式为 \( y = x^2 - 4x + 3 \)。
三、挑战提升题
题目5
若二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像经过点 \( (0, 5) \) 和 \( (2, 1) \)，且其顶点在直线 \( x = 1 \) 上，求 \( a \)、\( b \)、\( c \) 的值。
解析
由顶点在直线 \( x = 1 \)，可知顶点横坐标为 \( x = 1 \)，利用顶点公式 \( x = -\frac{b}{2a} \) 得到：
\[ -\frac{b}{2a} = 1 \implies b = -2a \]
又因图像经过点 \( (0, 5) \) 和 \( (2, 1) \)，分别代入函数表达式：
1. 当 \( x = 0, y = 5 \)：\( c = 5 \)
2. 当 \( x = 2, y = 1 \)：\( 4a + 2b + c = 1 \)
将 \( b = -2a \) 和 \( c = 5 \) 代入第二个条件：
\[ 4a + 2(-2a) + 5 = 1 \]
\[ 4a - 4a + 5 = 1 \]
\[ a = -1, b = 2, c = 5 \]
最终解析式为 \( y = -x^2 + 2x + 5 \)。
以上便是本次提供的经典练习题及详细解答。希望同学们能够通过这些题目，进一步巩固对二次函数的理解与运用能力！
