在高中数学的学习过程中，导数与微积分是重要的知识点之一，它们不仅是数学理论的基础，也广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握好这部分内容，对于提升数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

本练习题集旨在帮助学生巩固导数的基本概念、求导法则以及微积分的初步应用，涵盖基础题型和部分综合性题目，适合课后复习或阶段性检测使用。

一、导数的基本概念

1. 求函数 $ f(x) = x^2 + 3x - 5 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数值。

2. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，求其导函数 $ f'(x) $。

3. 设 $ f(x) = \sqrt{x} $，求 $ f'(4) $ 的值。

4. 求函数 $ f(x) = \ln(x) $ 在 $ x = e $ 处的导数。

5. 若 $ f(x) = \sin(x) $，求 $ f'(0) $。

二、导数的运算法则

1. 求函数 $ f(x) = (x^2 + 1)(x - 3) $ 的导数。

2. 计算 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。

3. 已知 $ f(x) = \cos(2x) $，求 $ f'(x) $。

4. 求函数 $ f(x) = \tan(x) $ 的导数。

5. 设 $ f(x) = e^{3x} $，求 $ f'(x) $。

三、导数的应用

1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ 的极值点，并判断其是极大值还是极小值。

2. 求曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线方程。

3. 某物体的位移随时间变化的函数为 $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $，求其速度和加速度的表达式。

4. 求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的单调区间。

5. 利用导数求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的最大值和最小值（在区间 $ [0, 3] $ 上）。

四、微积分基础练习

1. 计算定积分 $ \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx $。

2. 求不定积分 $ \int (3x^2 - 4x + 1) dx $。

3. 计算 $ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx $。

4. 求函数 $ f(x) = \sin(x) $ 在区间 $ [0, \pi] $ 上的定积分。

5. 求由曲线 $ y = x^2 $ 和直线 $ y = 4 $ 所围成的区域面积。

五、综合题

1. 设函数 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $，已知其在 $ x = 1 $ 处有极值，且图像过点 $ (0, 2) $，导数在 $ x = 0 $ 处为 1，求 $ a, b, c, d $ 的值。

2. 某工厂生产某产品的成本函数为 $ C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10 $，求当产量为 3 单位时的边际成本。

3. 已知函数 $ f(x) = \frac{x^2}{x + 1} $，求其导数并分析其单调性。

4. 求函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数，并确定其定义域。

5. 设 $ f(x) = \int_{0}^{x} \sin(t) dt $，求 $ f'(x) $ 并计算 $ f'(\pi/2) $。

通过以上练习题，学生可以系统地复习导数与微积分的相关知识，提升解题能力。建议在完成每道题后进行反思与总结，以加深理解。同时，结合教材和老师的讲解，逐步构建完整的数学知识体系，为后续学习打下坚实基础。