在数学中，行列式是一个非常重要的概念，尤其在线性代数中有着广泛的应用。它不仅用于求解线性方程组，还常用于判断矩阵的可逆性、计算特征值等。为了帮助大家更好地掌握行列式的相关知识，下面提供一些典型的行列式练习题及其详细解答。
一、基础题型
题目1：
计算下列二阶行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
\end{vmatrix}
$$
解答：
根据二阶行列式的计算公式：
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix}
= ad - bc
$$
代入数值得：
$$
2 \times 5 - 3 \times 4 = 10 - 12 = -2
$$
答案： $-2$
题目2：
计算三阶行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}
$$
解答：
使用对角线法则或展开法进行计算。这里采用展开法（按第一行展开）：
$$
1 \cdot \begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{vmatrix}
- 2 \cdot \begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix}
+ 3 \cdot \begin{vmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{vmatrix}
$$
分别计算每个子式：
- 第一个子式：$5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3$
- 第二个子式：$4 \times 9 - 6 \times 7 = 36 - 42 = -6$
- 第三个子式：$4 \times 8 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3$
代入原式：
$$
1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
$$
答案： $0$
二、进阶题型
题目3：
已知三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
1 & x & 1 \\
1 & 1 & x \\
\end{vmatrix}
= 0
$$
求实数 $x$ 的值。
解答：
我们先计算该行列式：
$$
\begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
1 & x & 1 \\
1 & 1 & x \\
\end{vmatrix}
$$
使用展开法（按第一行展开）：
$$
x \cdot \begin{vmatrix}x & 1 \\ 1 & x\end{vmatrix}
- 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & x\end{vmatrix}
+ 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & x \\ 1 & 1\end{vmatrix}
$$
计算各子式：
- 第一个子式：$x^2 - 1$
- 第二个子式：$x - 1$
- 第三个子式：$1 - x$
代入得：
$$
x(x^2 - 1) - (x - 1) + (1 - x) = x^3 - x - x + 1 + 1 - x = x^3 - 3x + 2
$$
令其等于零：
$$
x^3 - 3x + 2 = 0
$$
尝试因式分解：
试根法：$x = 1$ 是根，因为 $1 - 3 + 2 = 0$
用多项式除法或因式分解得：
$$
(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0
$$
继续分解：
$$
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
$$
所以：
$$
(x - 1)^2(x + 2) = 0
$$
解得： $x = 1$ 或 $x = -2$
答案： $x = 1$ 或 $x = -2$
三、综合应用题
题目4：
设矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，且 $\det(A) = 5$，若矩阵 $B = A + I$，其中 $I$ 为单位矩阵，求 $\det(B)$ 的值。
解答：
矩阵 $B = A + I = \begin{bmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{bmatrix}$
行列式为：
$$
\det(B) = (a+1)(d+1) - bc
$$
展开：
$$
ad + a + d + 1 - bc
$$
由于 $\det(A) = ad - bc = 5$，代入上式：
$$
5 + a + d + 1 = a + d + 6
$$
但题目未给出 $a + d$ 的具体值，因此无法得出唯一结果。若需进一步计算，需补充信息。
答案： 需更多信息才能确定 $\det(B)$ 的值。
总结
通过以上练习题，我们可以看到行列式的计算方法多种多样，包括直接代入公式、展开法、对角线法则以及利用行列式的性质简化运算。掌握这些技巧对于解决更复杂的线性代数问题至关重要。
如需更多练习题或深入讲解，欢迎继续提问！
