【基本积分公式(24个).】在微积分的学习过程中，积分是核心内容之一。无论是不定积分还是定积分，掌握基本的积分公式都是必不可少的基础。这些公式不仅帮助我们快速求解常见的函数积分，还能为更复杂的积分问题提供思路和方法。下面列出的是24个常用的基本积分公式，适用于初学者和进阶学习者。

1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）

2. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

3. $\int e^x \, dx = e^x + C$

4. $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （$a > 0, a \neq 1$）

5. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

6. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

7. $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$

8. $\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$

9. $\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

10. $\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$

11. $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

12. $\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

13. $\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$

14. $\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$

15. $\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C$

16. $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C$

17. $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$

18. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$

19. $\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \frac{1}{a} \text{arcsec}\left(\frac{|x|}{a}\right) + C$

20. $\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$

21. $\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a + x}{a - x}\right| + C$

22. $\int \frac{1}{x \ln x} \, dx = \ln|\ln x| + C$

23. $\int \frac{1}{x (\ln x)^n} \, dx = \frac{(\ln x)^{1 - n}}{1 - n} + C$ （$n \neq 1$）

24. $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$

这些基本积分公式是学习积分运算的基石，熟练掌握它们有助于提高计算效率，并为后续学习积分技巧（如换元法、分部积分等）打下坚实基础。在实际应用中，常常需要结合多种方法进行灵活运用，才能解决更复杂的问题。建议在理解每个公式的推导过程后，通过大量练习加以巩固。