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副探索二次函数的奥秘

作者/班级：XXX中学 数学组

日期：2025年4月

第二页：什么是二次函数？

定义：

形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a ≠ 0。

a、b、c 是常数，x 是自变量，y 是因变量。

特点：

- 最高次数为2

- 图像为抛物线

- 有对称轴和顶点

第三页：标准形式与一般形式

标准形式：

y = a(x - h)² + k

其中 (h, k) 是顶点坐标。

一般形式：

y = ax² + bx + c

可以通过配方法转化为标准形式。

第四页：图像特征分析

图像名称：抛物线

开口方向：

- 当 a > 0 时，开口向上

- 当 a < 0 时，开口向下

对称轴：

x = -b/(2a)

顶点坐标：

(-b/(2a), f(-b/(2a)))

第五页：函数的性质

1. 单调性

- 在对称轴左侧，函数单调递减

- 在对称轴右侧，函数单调递增

2. 最大值或最小值

- 当 a > 0，顶点是最低点（最小值）

- 当 a < 0，顶点是最高点（最大值）

第六页：求解二次函数的根

求根公式：

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

判别式 D = b² - 4ac

- D > 0：两个不同的实数根

- D = 0：一个实数根（重根）

- D < 0：无实数根（有两个共轭复数根）

第七页：实际应用举例

1. 抛掷物体运动轨迹

如：篮球投篮、炮弹飞行等，符合抛物线运动规律。

2. 经济模型

如利润与产量之间的关系，有时可以用二次函数表示。

3. 建筑设计

拱桥、隧道等结构设计中也常使用二次函数曲线。

第八页：图像变换与函数变化

1. 平移

- 向左/右移动：y = a(x - h)² + k

- 向上/下移动：y = ax² + k

2. 伸缩

- 系数 a 控制图像的“宽窄”和开口大小

- |a| 越大，图像越“瘦”；|a| 越小，图像越“胖”

第九页：常见题型解析

题型一：求顶点坐标

题型二：判断开口方向

题型三：求函数的零点

题型四：利用图像解决实际问题

建议：结合图示和代数计算，逐步分析，提高理解能力。

第十页：总结与思考

本节课我们学习了：

- 二次函数的定义与基本形式

- 图像的特征及性质

- 实际应用与解题方法

思考题：

如果给定一个二次函数的图像，你能推断出它的表达式吗？如何验证？

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结束页：感谢聆听！

如有疑问，请随时提问。