【1.2.2复合函数的求导法则】在数学分析中，导数是研究函数变化率的重要工具。当函数由多个部分组合而成时，例如一个函数作为另一个函数的输入，这种结构被称为复合函数。对于这类函数的求导，我们需要使用一种特殊的规则——链式法则（Chain Rule），也称为复合函数的求导法则。

一、什么是复合函数？

复合函数是由两个或多个函数“嵌套”在一起形成的函数。设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，那么我们可以将 $ y $ 表示为关于 $ x $ 的函数，即：

$$

y = f(g(x))

$$

这样的函数称为 复合函数，记作 $ y = f \circ g(x) $，其中 $ f $ 是外层函数，$ g $ 是内层函数。

二、复合函数的导数如何计算？

对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数的计算方法就是链式法则。链式法则的基本思想是：先对外层函数求导，再乘以内层函数对自变量的导数。

具体来说，若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}

$$

也就是说，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以内层函数对自变量的导数。

三、链式法则的应用实例

示例 1：

设 $ y = (3x + 2)^2 $，求 $ \frac{dy}{dx} $。

这里，外层函数是 $ f(u) = u^2 $，内层函数是 $ u = 3x + 2 $。

根据链式法则：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(u^2) \cdot \frac{d}{dx}(3x + 2) = 2u \cdot 3 = 6(3x + 2)

$$

因此，导数为：

$$

\frac{dy}{dx} = 6(3x + 2)

$$

示例 2：

设 $ y = \sin(e^x) $，求导。

外层函数是 $ f(u) = \sin(u) $，内层函数是 $ u = e^x $。

应用链式法则：

$$

\frac{dy}{dx} = \cos(e^x) \cdot e^x = e^x \cos(e^x)

$$

四、链式法则的推广

链式法则不仅适用于两层复合函数，也可以推广到多层复合的情况。例如，若 $ y = f(g(h(x))) $，则导数为：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dh} \cdot \frac{dh}{dx}

$$

这意味着，每一层都需要分别求导，并将所有导数相乘。

五、链式法则的意义与重要性

链式法则不仅是微积分中的基本工具，也是解决实际问题的关键方法。在物理、工程、经济学等领域，许多现象都可以用复合函数来描述，而它们的变化率往往需要通过链式法则来计算。

掌握链式法则，有助于我们更深入地理解函数之间的关系，并为后续学习偏导数、隐函数求导等内容打下坚实的基础。

总结：

复合函数的求导法则，即链式法则，是处理复杂函数求导的核心方法。通过分层求导并逐层相乘，可以有效地计算出复合函数的导数。掌握这一法则，不仅能提高解题效率，还能增强对函数变化规律的理解。