【复数相乘公式】在数学中，复数是一种包含实部和虚部的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等。本文将重点介绍复数相乘的公式，并通过总结与表格的形式进行展示，帮助读者更清晰地理解其运算规则。
一、复数相乘的基本公式
设两个复数分别为：
- $ z_1 = a + bi $
- $ z_2 = c + di $
它们的乘积为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di)
$$
根据乘法分配律，展开后得到：
$$
z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci + bdi^2
$$
由于 $ i^2 = -1 $，所以可以进一步简化为：
$$
z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
因此，复数相乘的结果是一个新的复数，其实部为 $ ac - bd $，虚部为 $ ad + bc $。
二、复数相乘的步骤总结
1. 展开乘法：将两个复数按照多项式乘法展开。
2. 合并同类项：将实部和虚部分别合并。
3. 代入 $ i^2 = -1 $：替换掉所有 $ i^2 $ 项。
4. 整理结果：最终得到一个标准形式的复数 $ x + yi $。
三、复数相乘示例（表格形式）
| 复数 $ z_1 $ | 复数 $ z_2 $ | 计算过程 | 结果（$ x + yi $） |
| $ 1 + 2i $ | $ 3 + 4i $ | $ (1×3 - 2×4) + (1×4 + 2×3)i $ | $ -5 + 10i $ |
| $ 2 + 3i $ | $ 1 - i $ | $ (2×1 - 3×(-1)) + (2×(-1) + 3×1)i $ | $ 5 + 1i $ |
| $ -1 + 4i $ | $ 2 + 5i $ | $ (-1×2 - 4×5) + (-1×5 + 4×2)i $ | $ -22 + 3i $ |
| $ 0 + 5i $ | $ 0 - 3i $ | $ (0×0 - 5×(-3)) + (0×(-3) + 5×0)i $ | $ 15 + 0i $ |
四、小结
复数相乘是复数运算中的重要内容，掌握其公式和计算方法有助于后续学习复数的极坐标表示、模与幅角等概念。通过上述总结和表格，可以直观地看到不同复数相乘后的结果，便于理解和记忆。
希望这篇文章能帮助你更好地理解复数相乘的原理与应用。
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