【可决系数公式】在统计学中，可决系数（R²）是一个用于衡量回归模型对数据拟合程度的重要指标。它表示因变量的总变异中，由自变量解释的部分所占的比例。R² 的取值范围在 0 到 1 之间，数值越大，说明模型对数据的解释能力越强。
一、可决系数的基本概念
可决系数是通过比较总平方和（SST）与残差平方和（SSE）之间的关系来计算的。其核心思想是：模型能够解释的数据变化越多，R² 值就越高。
- 总平方和（SST）：反映因变量的总变异。
- 残差平方和（SSE）：反映模型未能解释的变异。
- 回归平方和（SSR）：反映模型能解释的变异。
二、可决系数的公式
可决系数 R² 的基本公式如下：
$$
R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
$$
其中：
- $ SSR = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 $
- $ SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $
- $ SST = \sum (y_i - \bar{y})^2 $
三、各部分含义说明
| 名称 | 公式 | 含义说明 |
| 总平方和 | $ SST = \sum (y_i - \bar{y})^2 $ | 因变量的总变异 |
| 回归平方和 | $ SSR = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 $ | 模型解释的变异 |
| 残差平方和 | $ SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $ | 模型未解释的变异 |
| 可决系数 | $ R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} $ | 模型对数据的解释比例 |
四、可决系数的意义与局限性
意义：
- R² 越接近 1，说明模型对数据的拟合效果越好；
- 可用于比较不同模型的拟合优度。
局限性：
- R² 不会随着变量增加而减少，因此不能完全反映模型的准确性；
- 高 R² 并不意味着因果关系存在；
- 在多元线性回归中，应使用调整后的 R²（Adjusted R²）以避免过度拟合问题。
五、总结
可决系数是评估回归模型性能的重要工具，其计算基于总平方和、回归平方和和残差平方和的关系。通过理解 R² 的公式及其背后的统计意义，可以帮助我们更好地判断模型的解释力和适用性。在实际应用中，还需结合其他指标（如均方误差、调整 R² 等）进行综合分析。
表：可决系数相关公式汇总
| 指标 | 公式 | 用途说明 |
| SST | $ \sum (y_i - \bar{y})^2 $ | 总变异 |
| SSR | $ \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 $ | 模型解释的变异 |
| SSE | $ \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $ | 残差变异 |
| R² | $ \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} $ | 拟合优度 |
通过以上内容，可以更清晰地掌握可决系数的核心概念和计算方法。
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