【空间直角坐标系常用公式】在三维几何中，空间直角坐标系是描述点、线、面以及空间物体位置关系的重要工具。它由三个相互垂直的坐标轴（x轴、y轴、z轴）构成，通常以右手定则来确定方向。掌握空间直角坐标系中的常用公式，有助于解决几何、物理、工程等领域的问题。以下是对该坐标系中常用公式的总结。
一、基本概念
| 概念 | 描述 |
| 坐标原点 | O(0, 0, 0) |
| 点 | P(x, y, z)，表示空间中某一点的位置 |
| 向量 | 从原点指向点P的向量为 $\vec{OP} = (x, y, z)$ |
二、距离公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 两点间距离 | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $ | 计算两点之间的直线距离 |
| 到原点的距离 | $ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $ | 点P到坐标原点O的距离 |
三、向量运算
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 向量加法 | $ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) $ | 向量相加 |
| 向量减法 | $ \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) $ | 向量相减 |
| 数乘 | $ k\vec{a} = (k a_x, k a_y, k a_z) $ | 向量与标量相乘 |
| 点积 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ | 又称内积，用于计算夹角或投影 |
| 叉积 | $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) $ | 又称外积，结果为垂直于两向量的向量 |
四、平面方程
| 平面类型 | 方程形式 | 说明 |
| 一般式 | $ Ax + By + Cz + D = 0 $ | A、B、C为法向量分量 |
| 点法式 | $ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 $ | 经过点 $ (x_0, y_0, z_0) $，法向量为 $ (A, B, C) $ |
五、直线方程
| 直线类型 | 方程形式 | 说明 |
| 参数式 | $ x = x_0 + at $, $ y = y_0 + bt $, $ z = z_0 + ct $ | t为参数，方向向量为 $ (a, b, c) $ |
| 对称式 | $ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $ | a、b、c不为零 |
| 两点式 | $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} $ | 经过两点 $ (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ (x_2, y_2, z_2) $ |
六、常见几何体方程
| 几何体 | 方程形式 | 说明 |
| 球面 | $ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 $ | 圆心为 $ (x_0, y_0, z_0) $，半径r |
| 圆柱面 | $ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $ | 轴线沿z轴，半径r |
| 圆锥面 | $ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \left(\frac{z - z_0}{h}\right)^2 r^2 $ | 顶点在 $ (x_0, y_0, z_0) $，高h，底面半径r |
七、角度与投影
| 公式 | 表达式 | 说明 | ||||
| 向量夹角 | $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } $ | 计算两个向量之间的夹角 | |
| 投影长度 | $ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | } $ | 向量a在向量b上的投影长度 |
通过以上公式，可以系统地分析和解决空间几何问题。这些公式不仅适用于数学研究，也广泛应用于物理、工程、计算机图形学等多个领域。熟练掌握这些内容，有助于提高空间思维能力和实际应用能力。
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