【三角函数公式余弦差推导】在三角函数中，余弦差公式是用于计算两个角的余弦值之差的重要工具。该公式不仅在数学分析中广泛应用，也在物理、工程和计算机图形学等领域中发挥着重要作用。本文将对余弦差公式的推导过程进行总结，并通过表格形式清晰展示其核心内容。

一、余弦差公式简介

余弦差公式是指：

$$

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

$$

这个公式可以用来计算两个角度之差的余弦值，是三角恒等式中的一个重要组成部分。

二、推导过程（简要总结）

1. 单位圆与坐标表示

在单位圆上，任意一个角 $ A $ 对应的点坐标为 $ (\cos A, \sin A) $，角 $ B $ 对应的点坐标为 $ (\cos B, \sin B) $。

2. 向量内积法

将两个角视为从原点出发的向量，它们之间的夹角为 $ A - B $。利用向量的内积公式：

$$

\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{v} \vec{u} \cos(\theta)

$$

其中 $ \theta = A - B $，而 $ \vec{v} $ 和 $ \vec{u} $ 分别为单位向量，因此模长为1，内积即为 $ \cos(A - B) $。

3. 代数展开

向量 $ \vec{v} = (\cos A, \sin A) $，$ \vec{u} = (\cos B, \sin B) $，则：

$$

\vec{v} \cdot \vec{u} = \cos A \cos B + \sin A \sin B

$$

所以：

$$

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

$$

三、常见角度的余弦差公式表

四、应用实例

例如，计算 $ \cos(45^\circ - 30^\circ) $：

$$

\cos(15^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ

= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

$$

五、总结

余弦差公式是三角函数中的基础恒等式之一，具有广泛的应用价值。通过几何方法或向量内积的方式都可以对其进行有效推导。掌握这一公式有助于更深入地理解三角函数的性质，并在实际问题中灵活运用。

表格汇总：余弦差公式关键信息

如需进一步了解正弦差公式或其他三角恒等式，可继续查阅相关资料。

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