【三角形分布的期望与方差】在概率论与统计学中，三角形分布是一种连续概率分布，其概率密度函数（PDF）呈三角形形状。它通常用于模拟不确定性较高的变量，尤其是在缺乏精确数据的情况下。三角形分布由三个参数定义：最小值（a）、最大值（b）和最可能值（c）。根据这三个参数，可以计算出该分布的期望和方差。
以下是对三角形分布的期望与方差的总结，并通过表格形式进行展示。
一、三角形分布的基本概念
- 定义：三角形分布是基于一个三角形形状的概率密度函数，其形状由三个参数决定。
- 参数：
- a：最小值（左端点）
- b：最大值（右端点）
- c：最可能值（顶点位置）
- 概率密度函数（PDF）：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{if } a \leq x < c \\
\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{if } c \leq x \leq b \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
二、期望与方差的公式
对于三角形分布，期望（均值）和方差有如下公式：
| 项目 | 公式 |
| 期望（E[X]） | $ \frac{a + b + c}{3} $ |
| 方差（Var(X)） | $ \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}{18} $ |
三、示例说明
假设某项工程的工期服从三角形分布，其中：
- 最小工期 $ a = 5 $ 天
- 最大工期 $ b = 15 $ 天
- 最可能工期 $ c = 10 $ 天
则：
- 期望工期为：
$$
E[X] = \frac{5 + 15 + 10}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{天}
$$
- 方差为：
$$
Var(X) = \frac{5^2 + 15^2 + 10^2 - 5×15 - 5×10 - 15×10}{18}
= \frac{25 + 225 + 100 - 75 - 50 - 150}{18}
= \frac{350 - 275}{18} = \frac{75}{18} ≈ 4.17
$$
因此，该工程工期的平均为10天，方差约为4.17，标准差约为2.04天。
四、总结
三角形分布在实际问题中具有广泛的应用价值，特别是在风险分析、成本估算和项目管理等领域。通过对期望和方差的计算，可以更准确地评估变量的集中趋势和离散程度。
| 参数 | 定义 |
| a | 最小值 |
| b | 最大值 |
| c | 最可能值 |
| E[X] | 期望值 |
| Var(X) | 方差 |
通过上述公式和示例，可以快速掌握三角形分布的核心特征，为实际问题提供数学支持。
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