【回归直线方程例题详解】在统计学中，回归分析是一种重要的工具，用于研究变量之间的关系。其中，回归直线方程是描述两个变量之间线性关系的数学表达式。本文通过一个典型例题，详细讲解如何求解回归直线方程，并以加表格的形式展示答案。
一、例题题目
某中学对高二年级学生的数学成绩与物理成绩进行了调查，数据如下表所示：
| 学生编号 | 数学成绩（x） | 物理成绩（y） |
| 1 | 80 | 75 |
| 2 | 85 | 80 |
| 3 | 90 | 85 |
| 4 | 75 | 70 |
| 5 | 95 | 90 |
请根据上述数据，建立数学成绩（x）与物理成绩（y）之间的回归直线方程，并解释其意义。
二、解题步骤
1. 计算相关数据
首先计算以下基本统计量：
- $ n = 5 $
- $ \sum x = 80 + 85 + 90 + 75 + 95 = 425 $
- $ \sum y = 75 + 80 + 85 + 70 + 90 = 400 $
- $ \sum xy = (80×75) + (85×80) + (90×85) + (75×70) + (95×90) = 6000 + 6800 + 7650 + 5250 + 8550 = 34250 $
- $ \sum x^2 = 80² + 85² + 90² + 75² + 95² = 6400 + 7225 + 8100 + 5625 + 9025 = 36375 $
2. 计算回归系数
回归直线方程为：
$$
\hat{y} = a + bx
$$
其中，斜率 $ b $ 和截距 $ a $ 的计算公式为：
$$
b = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}
$$
$$
a = \frac{\sum y - b\sum x}{n}
$$
代入数值：
$$
b = \frac{5×34250 - 425×400}{5×36375 - 425^2} = \frac{171250 - 170000}{181875 - 180625} = \frac{1250}{1250} = 1
$$
$$
a = \frac{400 - 1×425}{5} = \frac{-25}{5} = -5
$$
因此，回归直线方程为：
$$
\hat{y} = -5 + 1x
$$
即：
$$
\hat{y} = x - 5
$$
三、结果总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 收集数据：数学成绩（x）和物理成绩（y） |
| 2 | 计算总和：$ \sum x = 425 $, $ \sum y = 400 $, $ \sum xy = 34250 $, $ \sum x^2 = 36375 $ |
| 3 | 计算回归系数：$ b = 1 $, $ a = -5 $ |
| 4 | 建立回归方程：$ \hat{y} = x - 5 $ |
| 5 | 解释：每提高1分数学成绩，物理成绩平均提高1分；当数学成绩为0时，预测物理成绩为-5分（需结合实际意义理解） |
四、结论
通过本例题可以看出，回归直线方程能够帮助我们了解两个变量之间的线性关系。在实际应用中，应结合数据背景合理解释回归结果，避免脱离现实意义的盲目推断。同时，回归分析仅适用于线性关系明显的数据集，对于非线性关系需考虑其他模型。
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