【韦达定理六个变形公式的推导过程】在初中和高中数学中，韦达定理是二次方程根与系数之间关系的重要工具。它不仅帮助我们快速求解根的和与积，还可以通过不同的形式进行变形，解决更复杂的代数问题。本文将总结韦达定理的六个常见变形公式的推导过程，并以表格形式呈现。
一、韦达定理基础
对于一元二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
设其两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$，则根据韦达定理有：
- 根的和：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
- 根的积：$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
二、六个变形公式的推导过程
1. 公式一：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
推导过程：
$$
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
$$
由韦达定理代入：
$$
x_1^2 + x_2^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}
$$
2. 公式二：$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
推导过程：
$$
\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2 + x_1}{x_1x_2}
$$
代入韦达定理：
$$
\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{-\dfrac{b}{a}}{\dfrac{c}{a}} = -\dfrac{b}{c}
$$
3. 公式三：$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$
推导过程：
$$
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)
$$
代入韦达定理：
$$
x_1^3 + x_2^3 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^3 - 3 \cdot \dfrac{c}{a} \cdot \left(-\dfrac{b}{a}\right) = -\dfrac{b^3}{a^3} + \dfrac{3bc}{a^2}
$$
4. 公式四：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
推导过程：
$$
(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2
$$
代入韦达定理：
$$
(x_1 - x_2)^2 = \left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{4c}{a}
$$
5. 公式五：$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
推导过程：
$$
x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)
$$
代入韦达定理：
$$
x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = \dfrac{c}{a} \cdot \left(-\dfrac{b}{a}\right) = -\dfrac{bc}{a^2}
$$
6. 公式六：$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
推导过程：
$$
\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}
$$
已知 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，所以：
$$
\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}
$$
代入韦达定理：
$$
= \dfrac{\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{c}{a}}{\dfrac{c}{a}} = \dfrac{\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}}{\dfrac{c}{a}} = \dfrac{b^2 - 2ac}{ac}
$$
三、总结表格
| 公式编号 | 变形公式 | 推导来源 | 代入韦达定理后的表达式 |
| 1 | $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ | 平方展开 | $\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}$ |
| 2 | $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$ | 分式加法 | $-\dfrac{b}{c}$ |
| 3 | $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$ | 立方展开 | $-\dfrac{b^3}{a^3} + \dfrac{3bc}{a^2}$ |
| 4 | $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ | 差平方 | $\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{4c}{a}$ |
| 5 | $x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$ | 因式分解 | $-\dfrac{bc}{a^2}$ |
| 6 | $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$ | 分式化简 | $\dfrac{b^2 - 2ac}{ac}$ |
四、结语
韦达定理的六个变形公式在代数运算中具有广泛的应用，尤其在求解根的组合、对称函数、根的差值等问题时非常实用。掌握这些变形公式的推导过程，有助于提升对二次方程的理解和应用能力。
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