【线性回归相关指数公式】在线性回归分析中，相关指数（也称为决定系数）是衡量模型对数据拟合程度的重要指标。它反映了自变量对因变量的解释能力，数值范围在0到1之间，越接近1表示模型拟合效果越好。
本文将总结线性回归中常用的相关指数公式，并通过表格形式清晰展示其定义、计算方式及应用场景。
一、相关指数的基本概念
相关指数（R²）是线性回归模型中用于评估模型拟合优度的一个统计量。它是总平方和（SST）与残差平方和（SSE）之间的比值，用来表示模型能够解释的变异比例。
二、相关指数的公式
| 指标名称 | 公式 | 说明 |
| 总平方和（SST） | $ SST = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 $ | 表示因变量实际值与均值之间的差异总和 |
| 回归平方和（SSR） | $ SSR = \sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i - \bar{y})^2 $ | 表示模型预测值与均值之间的差异总和 |
| 残差平方和（SSE） | $ SSE = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 $ | 表示实际值与模型预测值之间的差异总和 |
| 相关系数（R） | $ R = \sqrt{R^2} $ | 表示自变量与因变量之间的相关程度，符号表示正负相关 |
| 决定系数（R²） | $ R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} $ | 表示模型解释的变异比例，取值范围为[0,1] |
三、相关指数的应用场景
- 模型评估：R²越高，说明模型对数据的拟合越好。
- 变量选择：可用于比较不同变量组合对因变量的解释能力。
- 预测精度判断：结合其他指标（如均方误差）综合评估模型性能。
四、注意事项
- R²不能单独作为模型优劣的唯一依据，需结合残差分析、F检验等方法。
- 当模型包含多个自变量时，可使用调整后的R²（Adjusted R²）来避免因变量数量增加而人为提升R²的问题。
- 若R²较低，可能意味着模型存在遗漏变量或非线性关系未被考虑。
五、总结
线性回归中的相关指数是评估模型拟合效果的重要工具。通过计算R²，可以直观了解模型对数据的解释能力。在实际应用中，建议结合多种统计指标进行综合分析，以确保模型的合理性和可靠性。
注：本文内容基于基础统计学原理编写，适用于初学者或需要快速回顾相关公式的读者。
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