【向量积的坐标运算公式及推导】在向量代数中，向量积（又称叉积）是一种重要的运算，用于计算两个向量之间的垂直方向的向量。它广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。本文将总结向量积的基本概念，并通过坐标形式推导其运算公式。

一、向量积的基本概念

向量积是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个与原两个向量都垂直的新向量。设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积记作 a × b，其方向由右手定则确定，大小为：

$$

$$

其中 θ 是两向量之间的夹角。

二、向量积的坐标运算公式

根据向量积的定义，可以将其表示为如下坐标形式：

$$

a × b = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开该行列式，可得：

$$

a × b = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

因此，向量积的坐标表达式为：

$$

a × b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、向量积的坐标运算公式总结表

四、向量积的推导过程

1. 定义向量积的方向：

向量积 a × b 的方向垂直于 a 和 b 所在的平面，遵循右手定则。

2. 定义向量积的模长：

$$

a × b = ab\sinθ

$$

3. 利用单位向量的叉积关系：

设单位向量 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 满足以下关系：

- $\mathbf{i} × \mathbf{j} = \mathbf{k}$

- $\mathbf{j} × \mathbf{k} = \mathbf{i}$

- $\mathbf{k} × \mathbf{i} = \mathbf{j}$

- 反向叉积为负：$\mathbf{j} × \mathbf{i} = -\mathbf{k}$ 等

4. 将向量表示为单位向量之和：

$$

a = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k},\quad b = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}

$$

5. 进行展开并简化：

利用分配律和单位向量的叉积规则，最终得到：

$$

a × b = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

五、总结

向量积的坐标运算公式是向量代数中的重要工具，能够快速计算两个三维向量的垂直方向向量。通过行列式展开的方式，可以系统地推导出其坐标表达式。掌握这一公式不仅有助于理解向量的空间关系，也为实际应用提供了基础支持。

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