【常用不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是基本且重要的内容之一。掌握常见的不定积分公式，有助于快速求解各类函数的原函数。以下是对一些常用不定积分公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数相关积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、有理函数与根号函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \sqrt{x^2 + a^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \sqrt{x^2 - a^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
四、反三角函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{a^2 + x^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \frac{1}{a} \text{arcsec}\left(\frac{ | x | }{a}\right) + C $ |
五、特殊函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{\ln x}{x} $ | $ \frac{(\ln x)^2}{2} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - 1} $ | $ \frac{1}{2} \ln \left | \frac{x - 1}{x + 1}\right | + C $ |
结语
以上是常见的不定积分公式总结，适用于大多数初等函数的积分运算。在实际应用中，还需结合换元法、分部积分法等技巧进行灵活处理。熟练掌握这些公式，有助于提高计算效率，为后续学习微分方程、积分变换等内容打下坚实基础。
