【杨辉三角公式是】杨辉三角，又称帕斯卡三角，是一种数学图形，用于展示二项式系数的排列。它不仅在组合数学中具有重要地位，还在概率论、代数和计算机科学等领域有广泛应用。虽然杨辉三角本身是一个图形结构，但其中蕴含的规律可以用公式来表达。
一、杨辉三角的基本定义
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，每一行的数字都与上一行有关。其构造规则如下：
- 第0行只有一个数字：1
- 每一行的第一个和最后一个数字都是1
- 中间的每个数字是上一行中相邻两个数字之和
例如：
```
第0行： 1
第1行： 1 1
第2行： 1 2 1
第3行： 1 3 3 1
第4行： 1 4 6 4 1
```
二、杨辉三角的公式表示
尽管杨辉三角是一个图形，但它的每一个元素都可以用组合数公式来表示：
第n行第k个元素（从0开始计数）为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
其中：
- $ n $ 是行号（从0开始）
- $ k $ 是该行中的位置（从0开始）
- $ C(n, k) $ 表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数
这个公式也被称为“二项式系数”，是杨辉三角中所有数字的来源。
三、杨辉三角的性质总结
| 性质 | 内容 |
| 对称性 | 每一行的数字对称，即 $ C(n, k) = C(n, n-k) $ |
| 和 | 第n行的所有数字之和为 $ 2^n $ |
| 斜线 | 从左上到右下的斜线依次是自然数、三角数、四面体数等 |
| 素数行 | 如果n是素数，则第n行中除了首尾的1外，其余数字都能被n整除 |
四、杨辉三角的应用
1. 二项式展开：如 $ (a + b)^n $ 的展开式中，各项的系数就是杨辉三角第n行的数字。
2. 概率计算：在概率论中，可以用来计算多个事件的组合概率。
3. 组合问题：直接通过组合数公式计算组合数，避免逐行生成整个三角形。
五、杨辉三角的表格展示（前8行）
| 行号 (n) | 数字序列 |
| 0 | 1 |
| 1 | 11 |
| 2 | 121 |
| 3 | 1331 |
| 4 | 14641 |
| 5 | 15 10 10 5 1 |
| 6 | 16 15 20 15 6 1 |
| 7 | 17 21 35 35 21 7 1 |
六、结语
杨辉三角虽然看似简单，但其背后蕴含着深刻的数学规律。通过组合数公式 $ C(n, k) $，我们可以快速计算出任意位置的数值，而不必逐行生成整个三角形。它不仅是数学学习的重要工具，也是理解二项式定理和组合数学的基础。
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