【一阶齐次微分方程的通解公式】在微积分中，一阶齐次微分方程是一类重要的微分方程类型，其形式为：
$$
\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)
$$
这类方程的特点是右边的函数仅依赖于 $ \frac{y}{x} $，即变量 $ x $ 和 $ y $ 的比值。为了求解这种方程，通常采用变量替换法，将方程转化为可分离变量的形式。
一、通解公式的推导过程
1. 变量替换：令 $ v = \frac{y}{x} $，则 $ y = vx $。
2. 求导：对 $ y = vx $ 求导，得：
$$
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}
$$
3. 代入原方程：
$$
v + x\frac{dv}{dx} = f(v)
$$
4. 整理方程：
$$
x\frac{dv}{dx} = f(v) - v
$$
5. 分离变量：
$$
\frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x}
$$
6. 积分求解：
对两边分别积分，得到：
$$
\int \frac{dv}{f(v) - v} = \int \frac{dx}{x} + C
$$
7. 回代变量：将 $ v = \frac{y}{x} $ 回代，得到通解表达式。
二、通解公式总结
| 步骤 | 内容 | ||
| 1 | 原始方程：$ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) $ | ||
| 2 | 变量替换：设 $ v = \frac{y}{x} $，则 $ y = vx $ | ||
| 3 | 求导：$ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} $ | ||
| 4 | 代入方程：$ v + x\frac{dv}{dx} = f(v) $ | ||
| 5 | 整理方程：$ x\frac{dv}{dx} = f(v) - v $ | ||
| 6 | 分离变量：$ \frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x} $ | ||
| 7 | 积分求解：$ \int \frac{dv}{f(v) - v} = \ln | x | + C $ |
| 8 | 回代变量：$ v = \frac{y}{x} $，得到通解 |
三、示例说明
假设方程为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}
$$
- 这是一个典型的齐次方程，其中 $ f(v) = v $
- 替换后得到：
$$
x\frac{dv}{dx} = v - v = 0
$$
- 解得：$ v = C $（常数）
- 回代：$ \frac{y}{x} = C $，即 $ y = Cx $
四、总结
一阶齐次微分方程的通解公式是通过变量替换和分离变量的方法得到的，关键在于将方程转换为关于 $ v $ 的可分离变量形式，并进行积分求解。最终结果通常以 $ y $ 关于 $ x $ 的表达式表示，或以隐式形式给出。
该方法适用于所有可以表示为 $ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) $ 的方程，是解决此类问题的标准手段。
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