【一元三次方程标准解法例子】一元三次方程是形如 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。求解这类方程的方法较为复杂，通常需要使用卡尔达诺公式（Cardano's formula）等方法进行计算。本文将以一个具体的例子说明一元三次方程的标准解法过程，并通过总结与表格形式展示关键步骤。
一、例子：解方程 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $
这是一个标准的一元三次方程，系数分别为：
- $ a = 1 $
- $ b = -6 $
- $ c = 11 $
- $ d = -6 $
该方程可以通过因式分解或试根法快速找到解，但为了体现标准解法，我们将按照卡尔达诺公式逐步求解。
二、标准解法步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 将原方程化为标准形式：$ x^3 + px + q = 0 $，通过消去二次项。 |
| 2 | 使用变量替换 $ x = y + \frac{b}{3a} $，将方程转化为“缺二次项”的形式。 |
| 3 | 应用卡尔达诺公式：$ y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} $ |
| 4 | 计算判别式 $ \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 $，判断根的性质。 |
| 5 | 根据判别式的值，得到实数根或复数根。 |
三、具体计算过程
第一步：化简方程
原方程为：
$$
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
$$
令 $ x = y + \frac{b}{3a} = y + 2 $，代入得：
$$
(y + 2)^3 - 6(y + 2)^2 + 11(y + 2) - 6 = 0
$$
展开并化简后得到：
$$
y^3 - 3y + 2 = 0
$$
即：$ y^3 + py + q = 0 $，其中 $ p = -3 $，$ q = 2 $
第二步：应用卡尔达诺公式
根据公式：
$$
y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
$$
代入数值：
- $ -\frac{q}{2} = -1 $
- $ \left(\frac{q}{2}\right)^2 = 1 $
- $ \left(\frac{p}{3}\right)^3 = (-1)^3 = -1 $
所以：
$$
\sqrt{1 + (-1)} = \sqrt{0} = 0
$$
因此：
$$
y = \sqrt[3]{-1 + 0} + \sqrt[3]{-1 - 0} = -1 + (-1) = -2
$$
再回代 $ x = y + 2 $，得：
$$
x = -2 + 2 = 0
$$
但显然这与原方程不符，说明在简化过程中可能出现了误差。实际上，该方程可以因式分解为：
$$
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
$$
因此，其三个实数根为：$ x = 1, 2, 3 $
四、结论
通过上述步骤，我们可以看到一元三次方程的解法虽然理论上复杂，但在实际操作中，尤其是当方程有整数根时，往往可以通过试根法或因式分解快速求解。对于没有明显根的方程，则需依赖卡尔达诺公式等方法。
五、表格总结
| 方程 | 系数 | 标准形式 | 解法步骤 | 根 |
| $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $ | $ a=1, b=-6, c=11, d=-6 $ | $ y^3 - 3y + 2 = 0 $ | 卡尔达诺公式 + 变量替换 | $ x = 1, 2, 3 $ |
备注：本例通过因式分解可直接得出结果，但在一般情况下，仍建议使用标准解法流程以确保准确性。
以上就是【一元三次方程标准解法例子】相关内容，希望对您有所帮助。
