【lnx的平方不定积分是什么】在微积分的学习中，求函数的不定积分是一个重要的内容。对于一些常见的函数，如多项式、三角函数、指数函数等，我们有标准的积分公式。但对于像 $ \ln x $ 这样的对数函数，其平方形式 $ (\ln x)^2 $ 的不定积分则需要通过分部积分法来求解。
本文将总结 $ (\ln x)^2 $ 的不定积分，并以表格形式展示相关步骤与结果，帮助读者更好地理解和记忆这一过程。
一、不定积分的基本概念
不定积分是指找出一个函数的原函数，即：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
其中 $ F'(x) = f(x) $，$ C $ 是积分常数。
二、求 $ \int (\ln x)^2 \, dx $ 的方法
我们可以使用分部积分法（Integration by Parts）来计算这个积分。分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
设：
- $ u = (\ln x)^2 $，则 $ du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
代入公式得：
$$
\int (\ln x)^2 \, dx = x(\ln x)^2 - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx
$$
化简：
$$
= x(\ln x)^2 - 2 \int \ln x \, dx
$$
接下来再对 $ \int \ln x \, dx $ 使用分部积分法：
设：
- $ u = \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
所以：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C
$$
代入原式：
$$
\int (\ln x)^2 \, dx = x(\ln x)^2 - 2(x \ln x - x) + C
$$
整理得：
$$
= x(\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x + C
$$
三、总结与表格
| 步骤 | 积分表达式 | 方法/说明 |
| 1 | $ \int (\ln x)^2 \, dx $ | 原始问题 |
| 2 | $ x(\ln x)^2 - 2 \int \ln x \, dx $ | 分部积分法，令 $ u = (\ln x)^2 $，$ dv = dx $ |
| 3 | $ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C $ | 再次分部积分法 |
| 4 | 最终结果 | $ x(\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x + C $ |
四、结论
通过对 $ (\ln x)^2 $ 进行两次分部积分，我们得到了其不定积分的结果为：
$$
\int (\ln x)^2 \, dx = x(\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x + C
$$
该结果可用于解决涉及对数函数平方的积分问题，是微积分中的一个重要知识点。
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