在数学学习中，绝对值不等式是一个重要的知识点，它不仅出现在基础代数的学习中，也是后续高等数学学习中的重要工具之一。掌握绝对值不等式的解法，不仅能帮助我们解决实际问题，还能培养逻辑思维能力和计算能力。以下是一些精选的训练题目，旨在通过练习提升对这一知识点的理解与运用。

基础题型

题目1：

求解不等式 |x - 3| < 5。

解析：根据绝对值的定义，|x - 3| 表示 x 到 3 的距离小于 5。因此可以将其转化为两个条件：

- x - 3 < 5

- -(x - 3) < 5

分别解这两个不等式，得到 x 的取值范围。

题目2：

求解不等式 |2x + 1| ≥ 7。

解析：此题需要考虑两种情况：

- 当 2x + 1 ≥ 0 时，直接去掉绝对值符号；

- 当 2x + 1 < 0 时，去掉绝对值符号后改变符号。

结合这两种情况，最终确定 x 的取值范围。

中等难度题型

题目3：

求解不等式 |x^2 - 4| ≤ 3。

解析：首先分解不等式为两部分：

- x^2 - 4 ≤ 3

- -(x^2 - 4) ≤ 3

分别求解这两个二次不等式，然后取交集作为最终答案。

题目4：

已知 |a - b| = 5，|b - c| = 3，求 |a - c| 的最大值和最小值。

解析：利用三角形不等式的性质，分析 a、b、c 之间的关系，从而得出 |a - c| 的可能取值范围。

提高题型

题目5：

若 |x + y| + |x - y| = 8，求 x 和 y 满足的关系。

解析：此题需要分多种情况进行讨论，包括 x + y ≥ 0, x - y ≥ 0 等情形，逐步推导出满足条件的 x 和 y 的关系式。

题目6：

设函数 f(x) = |x^2 - 4x + 3|，试判断 f(x) 在区间 [0, 5] 上的最大值和最小值。

解析：先将 f(x) 写成分段函数形式，再分别在各段内求最值，并比较端点值以确定全局最值。

通过以上题目的练习，相信同学们能够更加熟练地掌握绝对值不等式的解法技巧。记住，在解题过程中要善于利用绝对值的几何意义以及分类讨论的思想方法，这样才能事半功倍。希望每位同学都能在实践中不断进步，取得优异的成绩！