【一次函数与正比例函数练习题】在初中数学的学习中，一次函数与正比例函数是函数部分的重要内容。它们不仅是后续学习其他函数类型的基础，也是解决实际问题时常用的工具。为了帮助同学们更好地掌握这两个概念，下面提供一些相关的练习题，并附有解析，便于理解和巩固。
一、选择题
1. 下列函数中，属于正比例函数的是（ ）
A. $ y = x + 2 $
B. $ y = 3x $
C. $ y = 2x^2 $
D. $ y = \frac{1}{x} $
答案：B
解析： 正比例函数的一般形式为 $ y = kx $（其中 $ k \neq 0 $）。只有选项B符合这一形式。
2. 若函数 $ y = (m - 2)x + 3 $ 是一次函数，则 $ m $ 的取值范围是（ ）
A. $ m \neq 2 $
B. $ m = 2 $
C. $ m > 2 $
D. $ m < 2 $
答案：A
解析： 一次函数的一般形式为 $ y = kx + b $，其中 $ k \neq 0 $。因此，$ m - 2 \neq 0 $，即 $ m \neq 2 $。
3. 已知某正比例函数的图像经过点 $ (2, 6) $，则该函数的表达式为（ ）
A. $ y = 2x $
B. $ y = 3x $
C. $ y = 4x $
D. $ y = 5x $
答案：B
解析： 设正比例函数为 $ y = kx $，将点 $ (2, 6) $ 代入得 $ 6 = 2k $，解得 $ k = 3 $，所以函数为 $ y = 3x $。
二、填空题
4. 一次函数 $ y = -2x + 5 $ 的斜率是 ______，截距是 ______。
答案：-2；5
5. 若函数 $ y = (a - 1)x + 3 $ 是正比例函数，则 $ a = $ ______。
答案：1
解析： 正比例函数必须满足常数项为0，即 $ 3 = 0 $ 不成立，但题目中给出的是“正比例函数”，说明 $ a - 1 \neq 0 $，同时 $ b = 0 $，所以应为 $ a - 1 = 0 $，即 $ a = 1 $。
三、解答题
6. 已知某一次函数的图像经过点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $，求这个函数的表达式。
解：
设一次函数为 $ y = kx + b $。
将点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $ 代入得：
$$
\begin{cases}
3 = k \cdot 1 + b \\
5 = k \cdot 2 + b
\end{cases}
$$
解方程组：
第二式减第一式得：
$ 5 - 3 = 2k - k \Rightarrow 2 = k $
代入第一式得：
$ 3 = 2 + b \Rightarrow b = 1 $
所以函数表达式为：
$$
y = 2x + 1
$$
7. 某地出租车计费方式如下：起步价为8元，每公里收费1.5元。写出总费用 $ y $（元）与行驶路程 $ x $（公里）之间的函数关系式，并判断是否为正比例函数。
解：
函数关系式为：
$$
y = 1.5x + 8
$$
由于存在常数项8，因此不是正比例函数，而是一次函数。
四、拓展思考
8. 若一个正比例函数的图象经过点 $ (-3, 6) $，那么它是否也经过点 $ (1, -2) $？请说明理由。
解：
设正比例函数为 $ y = kx $，代入 $ (-3, 6) $ 得：
$ 6 = -3k \Rightarrow k = -2 $
所以函数为 $ y = -2x $。
将 $ x = 1 $ 代入得 $ y = -2 \times 1 = -2 $，即点 $ (1, -2) $ 在图像上。
结论：是的，它也经过点 $ (1, -2) $。
通过以上练习题的训练，可以加深对一次函数和正比例函数的理解。建议同学们在做题过程中注意区分两者的定义与图像特征，并结合实际问题进行分析，提高综合运用能力。
