【5.4定积分的分部积分公式】在微积分的学习过程中，我们已经掌握了不定积分中的分部积分法。而在实际应用中，定积分的计算同样会遇到需要使用类似方法的情况。因此，为了更有效地处理一些复杂的积分问题，我们需要引入“定积分的分部积分公式”。
一、分部积分法的基本思想
分部积分法的核心思想来源于乘积函数的导数法则。对于两个可导函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $，它们的乘积的导数为：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
将上式两边对 $ x $ 在区间 $[a, b]$ 上进行积分，得到：
$$
\int_a^b \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] \, dx = \int_a^b u'(x)v(x) \, dx + \int_a^b u(x)v'(x) \, dx
$$
左边是一个简单的微分形式，其积分结果为：
$$
u(b)v(b) - u(a)v(a)
$$
因此，可以得到如下等式：
$$
u(b)v(b) - u(a)v(a) = \int_a^b u'(x)v(x) \, dx + \int_a^b u(x)v'(x) \, dx
$$
将其中一项移到等号另一边，即可得到定积分的分部积分公式：
$$
\int_a^b u(x)v'(x) \, dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx
$$
或者写成更常见的形式：
$$
\int_a^b u \, dv = uv \bigg|_a^b - \int_a^b v \, du
$$
这里的 $ du = u'(x)dx $，$ dv = v'(x)dx $。
二、使用分部积分法的步骤
1. 选择 $ u $ 和 $ dv $：根据被积函数的形式，合理地将被积表达式拆分为两部分，一部分设为 $ u $，另一部分设为 $ dv $。
2. 求出 $ du $ 和 $ v $：分别对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 求积分得到 $ v $。
3. 代入公式：将上述结果代入分部积分公式中进行计算。
4. 简化与求解：对新的积分项进行简化或进一步计算，直到得到最终结果。
三、实例分析
例题：计算 $ \int_0^{\pi} x \sin x \, dx $
解：
令：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入分部积分公式：
$$
\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos x) \, dx
$$
计算第一项：
$$
\left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} = -\pi \cos \pi + 0 = -\pi (-1) = \pi
$$
第二项：
$$
- \int_0^{\pi} (-\cos x) \, dx = \int_0^{\pi} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_0^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0
$$
所以：
$$
\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \pi + 0 = \pi
$$
四、注意事项
- 分部积分法适用于某些特定类型的积分，尤其是当被积函数是多项式与三角函数、指数函数、对数函数等的乘积时。
- 如果一次分部后仍无法直接积分，可能需要再次使用分部积分，甚至结合其他方法（如换元法）。
- 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 是关键，通常遵循“反、对、幂、指、三”的优先级顺序来选择 $ u $，以简化后续计算。
五、总结
定积分的分部积分法是解决复杂积分问题的重要工具之一。它不仅拓展了我们对积分运算的理解，也在实际应用中具有广泛的用途。掌握这一方法，有助于提高我们在微积分学习中的灵活性和解决问题的能力。
