【用因式分解法求解一元二次方程导学案】一、学习目标

1. 理解一元二次方程的基本形式及其意义。

2. 掌握因式分解法的适用条件和基本步骤。

3. 能够熟练运用因式分解法解简单的一元二次方程。

4. 提高逻辑思维能力和代数运算能力。

二、重点与难点

- 重点：掌握因式分解法的步骤，能正确地将方程化为两个一次因式的乘积。

- 难点：如何根据方程的特点选择合适的因式分解方法，尤其是对二次项系数不为1的情况进行分解。

三、知识回顾

1. 一元二次方程的一般形式是：

$ ax^2 + bx + c = 0 $（其中 $ a \neq 0 $）

2. 方程的解也称为根，通常有两个实数根或一个重根，也可能无实数根。

3. 因式分解是一种将多项式写成几个因式的乘积的形式，便于求解。

四、新知探究

1. 因式分解法的原理

当一个一元二次方程可以被分解为两个一次因式的乘积时，即：

$ (x + m)(x + n) = 0 $

根据“若乘积为零，则至少有一个因式为零”的原理，可得：

$ x + m = 0 $ 或 $ x + n = 0 $

因此，方程的解为：

$ x = -m $ 或 $ x = -n $

2. 因式分解法的步骤

（1）将方程整理为标准形式：

$ ax^2 + bx + c = 0 $

（2）尝试将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式等于0，分别求出对应的解。

（4）检验所求的解是否满足原方程。

五、典型例题解析

例题1： 解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $

分析：

我们寻找两个数，使得它们的和为 -5，积为 6。这两个数是 -2 和 -3。

所以，原方程可分解为：

$ (x - 2)(x - 3) = 0 $

解得：

$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $

例题2： 解方程 $ x^2 + 4x - 5 = 0 $

分析：

寻找两个数，和为 4，积为 -5。这两个数是 5 和 -1。

分解为：

$ (x + 5)(x - 1) = 0 $

解得：

$ x = -5 $ 或 $ x = 1 $

六、拓展提升

对于二次项系数不为1的方程，如 $ 2x^2 + 7x + 3 = 0 $，我们可以使用“十字相乘法”或“分组分解法”来进行因式分解。

例如：

$ 2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) $

验证：

$ (2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 $

正确！

七、课堂练习

1. 解方程：$ x^2 - 7x + 12 = 0 $

2. 解方程：$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

3. 解方程：$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $

4. 解方程：$ 4x^2 + 4x - 3 = 0 $

八、小结与反思

通过本节课的学习，我们掌握了利用因式分解法求解一元二次方程的方法，理解了因式分解的实质，并能够灵活运用这一方法解决实际问题。在今后的学习中，应加强对不同类型的二次方程的识别与分解能力，提高解题效率。

九、课后作业

1. 完成课本相关习题。

2. 预习下一节“配方法求解一元二次方程”。

3. 自主尝试用因式分解法解以下方程：

- $ x^2 - 9x + 18 = 0 $

- $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $

- $ 6x^2 - x - 2 = 0 $

备注： 本导学案旨在帮助学生系统掌握因式分解法的基本思路与应用技巧，建议结合教材与练习题进行巩固复习。