【边际替代率公式推导】边际替代率（Marginal Rate of Substitution, MRS）是微观经济学中的一个重要概念，用于衡量消费者在保持效用不变的前提下，愿意用一种商品替代另一种商品的比率。MRS 的推导基于无差异曲线的性质和消费者的效用函数。
一、基本概念总结
| 概念 | 定义 |
| 边际替代率（MRS） | 在保持总效用不变的情况下，消费者愿意放弃一种商品的数量以换取另一种商品的数量。 |
| 无差异曲线 | 表示消费者对不同商品组合具有相同效用的曲线。其斜率为负，且凸向原点。 |
| 效用函数 | 描述消费者对商品组合的偏好程度的数学表达式，如 U = U(x, y)。 |
| 边际效用 | 消费者每增加一单位商品所获得的额外效用。 |
二、边际替代率的公式推导
假设消费者的效用函数为：
$$
U = U(x, y)
$$
其中，x 和 y 分别表示两种商品的数量。
为了保持效用不变，即 $ dU = 0 $，我们可以对效用函数进行全微分：
$$
dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = 0
$$
将等式变形：
$$
\frac{\partial U}{\partial x} dx = -\frac{\partial U}{\partial y} dy
$$
两边同时除以 $ dy $，得到：
$$
\frac{dx}{dy} = -\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}
$$
这就是边际替代率的公式：
$$
MRS_{xy} = -\frac{MU_x}{MU_y}
$$
其中，$ MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} $ 是商品 x 的边际效用，$ MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} $ 是商品 y 的边际效用。
三、关键结论
| 内容 | 说明 |
| MRS 的符号 | 通常取绝对值，表示替代比例，因此常写作正数。 |
| MRS 与无差异曲线的斜率 | MRS 等于无差异曲线在某一点的斜率的绝对值。 |
| MRS 的递减性 | 随着 x 的增加，MRS 通常会下降，反映边际效用递减规律。 |
| MRS 与消费选择 | 消费者在预算约束下，通过调整消费组合使 MRS 等于商品的价格比达到最优。 |
四、举例说明
假设效用函数为：
$$
U(x, y) = x^{0.5} y^{0.5}
$$
则：
$$
MU_x = 0.5 x^{-0.5} y^{0.5}, \quad MU_y = 0.5 x^{0.5} y^{-0.5}
$$
代入 MRS 公式：
$$
MRS_{xy} = -\frac{MU_x}{MU_y} = -\frac{0.5 x^{-0.5} y^{0.5}}{0.5 x^{0.5} y^{-0.5}} = -\frac{y}{x}
$$
因此，该效用函数下的 MRS 为 $ \frac{y}{x} $，随着 x 增加，MRS 递减，符合边际替代率递减规律。
五、总结
边际替代率是分析消费者行为的重要工具，其推导基于效用函数的微分方法。通过理解 MRS 的含义及其变化规律，有助于更深入地分析消费者的决策过程和市场均衡条件。
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