【求下列函数的定义域.】在数学中，函数的定义域是指使得该函数有意义的所有自变量（即输入值）的集合。不同的函数形式对自变量有不同的限制条件，因此需要根据函数表达式来确定其定义域。
为了更好地理解和掌握定义域的求解方法，下面将对几类常见函数的定义域进行总结，并以表格形式展示结果。
一、常见函数类型及其定义域
| 函数类型 | 函数表达式 | 定义域说明 | 定义域 |
| 1. 一次函数 | $ f(x) = ax + b $ | 无限制 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 2. 二次函数 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | 无限制 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 3. 分式函数 | $ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} $ | 分母不能为零 | $ x \in \mathbb{R} \setminus \{x \mid q(x) = 0\} $ |
| 4. 根号函数（偶次根） | $ f(x) = \sqrt{g(x)} $ | 被开方数非负 | $ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \geq 0 $ |
| 5. 对数函数 | $ f(x) = \log_a(g(x)) $ | 底数大于0且不等于1，真数大于0 | $ x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0 $ |
| 6. 指数函数 | $ f(x) = a^{g(x)} $ | 无限制 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 7. 反函数 | $ f^{-1}(x) $ | 与原函数的定义域和值域互换 | 需根据原函数具体分析 |
二、定义域的求解方法
1. 分式函数：需保证分母不为零，找出使分母为零的自变量并排除。
2. 根号函数：若为偶次根（如平方根），被开方数必须大于或等于零。
3. 对数函数：对数中的真数必须大于零，底数必须大于0且不等于1。
4. 复合函数：需综合考虑各个部分的定义域，取交集。
5. 实际问题中的函数：还需结合实际情况进行合理限制。
三、示例解析
例1：求函数 $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $ 的定义域
解：分母 $ x - 2 \neq 0 $，即 $ x \neq 2 $
定义域：$ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $
例2：求函数 $ f(x) = \sqrt{x - 3} $ 的定义域
解：被开方数 $ x - 3 \geq 0 $，即 $ x \geq 3 $
定义域：$ [3, +\infty) $
例3：求函数 $ f(x) = \log_2(x + 1) $ 的定义域
解：真数 $ x + 1 > 0 $，即 $ x > -1 $
定义域：$ (-1, +\infty) $
四、总结
函数的定义域是函数研究的基础，正确求解定义域有助于理解函数的性质和应用范围。通过上述分类和示例，可以更清晰地掌握不同函数类型的定义域求法。在实际应用中，应结合具体函数表达式进行分析，避免遗漏关键条件。
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