【怎么用累加法求通项公式an】在数列的学习中，求通项公式是重要的一个环节。对于某些特定的数列，可以通过累加法来推导出通项公式。累加法通常适用于已知数列的递推关系式为an = an-1 + f(n)的形式，其中f(n)是一个关于n的函数。通过不断累加这些增量，可以得到an的通项表达式。
一、累加法的基本思想
累加法的核心思想是：从初始项开始，逐步将每一项与前一项的差值进行累加，从而得到第n项的表达式。
假设数列{an}满足如下递推关系：
$$
a_n = a_{n-1} + f(n)
$$
且已知a₁的值，则可以依次展开：
$$
a_2 = a_1 + f(2) \\
a_3 = a_2 + f(3) = a_1 + f(2) + f(3) \\
a_4 = a_3 + f(4) = a_1 + f(2) + f(3) + f(4) \\
\ldots \\
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} f(k)
$$
因此，通项公式为：
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} f(k)
$$
二、使用步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确认数列的递推关系是否为 $ a_n = a_{n-1} + f(n) $ 的形式 |
| 2 | 找出初始项 $ a_1 $ 的值 |
| 3 | 将递推式展开，写出前几项的表达式 |
| 4 | 观察规律，尝试将 $ a_n $ 表示为 $ a_1 $ 加上从 $ f(2) $ 到 $ f(n) $ 的和 |
| 5 | 对 $ \sum_{k=2}^{n} f(k) $ 进行求和运算，得出通项公式 |
三、典型例题分析
例1：
已知数列 {an} 满足：
$$
a_1 = 1,\quad a_n = a_{n-1} + n \quad (n \geq 2)
$$
解：
根据累加法，有：
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} k = 1 + \sum_{k=2}^{n} k
$$
我们知道：
$$
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
$$
所以：
$$
\sum_{k=2}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} - 1
$$
代入得：
$$
a_n = 1 + \left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right) = \frac{n(n+1)}{2}
$$
结论： 通项公式为 $ a_n = \frac{n(n+1)}{2} $
例2：
已知数列 {an} 满足：
$$
a_1 = 3,\quad a_n = a_{n-1} + 2^n \quad (n \geq 2)
$$
解：
$$
a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} 2^k = 3 + \sum_{k=2}^{n} 2^k
$$
我们知道：
$$
\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} - 1
$$
所以：
$$
\sum_{k=2}^{n} 2^k = \sum_{k=0}^{n} 2^k - 2^0 - 2^1 = (2^{n+1} - 1) - 1 - 2 = 2^{n+1} - 4
$$
代入得：
$$
a_n = 3 + (2^{n+1} - 4) = 2^{n+1} - 1
$$
结论： 通项公式为 $ a_n = 2^{n+1} - 1 $
四、适用范围与注意事项
| 内容 | 说明 |
| 适用范围 | 仅适用于形如 $ a_n = a_{n-1} + f(n) $ 的递推关系 |
| 注意事项 | 需要确认初始项的值；若 f(n) 无法直接求和，需寻找其他方法 |
| 优点 | 方法直观，易于理解，适合初学者掌握 |
| 缺点 | 不适用于非线性或复杂递推关系 |
五、总结
累加法是一种简洁而实用的方法，用于求解满足线性递推关系的数列通项公式。通过逐步展开并累加各项的增量，可以有效地推导出通项表达式。掌握这一方法，有助于提升对数列结构的理解和应用能力。
附：常用求和公式参考表
| 求和类型 | 公式 |
| 等差数列和 | $ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} $ |
| 等比数列和 | $ \sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} $（r ≠ 1） |
| 常数项和 | $ \sum_{k=1}^{n} c = cn $ |
通过以上内容，我们可以系统地了解如何使用累加法求通项公式，并在实际问题中灵活运用。
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