【x乘以ex怎么求积分】在微积分中，求解形如 $ x \cdot e^x $ 的不定积分是一个常见的问题。这类积分通常需要用到分部积分法（Integration by Parts）。下面我们将对这一积分过程进行详细总结，并通过表格形式清晰展示步骤和结果。
一、积分方法概述
对于函数 $ x \cdot e^x $ 的积分，我们使用分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 是关键。通常我们会将多项式部分设为 $ u $，指数函数部分设为 $ dv $。
二、分步计算过程
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 设 $ u = x $，$ dv = e^x dx $ | 选择多项式作为 $ u $，指数函数作为 $ dv $ |
| 2 | 计算 $ du = dx $，$ v = e^x $ | 对 $ u $ 求导，对 $ dv $ 积分 |
| 3 | 代入分部积分公式：$ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx $ | 应用公式，得到简化后的表达式 |
| 4 | 计算 $ \int e^x dx = e^x + C $ | 指数函数的积分是它本身 |
| 5 | 最终结果：$ x e^x - e^x + C $ | 合并项，加上常数项 |
三、最终答案
$$
\int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
四、小结
- 适用方法：分部积分法
- 关键步骤：合理选取 $ u $ 和 $ dv $
- 结果形式：包含原函数与积分后的函数之差
- 应用场景：在工程、物理、数学建模中常见
通过以上步骤，我们可以清晰地看到 $ x \cdot e^x $ 的积分过程，避免了复杂的计算，同时保持了逻辑的连贯性。
以上就是【x乘以ex怎么求积分】相关内容，希望对您有所帮助。
