【z变换的终值定理公式】在数字信号处理和离散时间系统分析中，z变换是一个非常重要的工具。它能够将离散时间序列转换为复频域中的表达式，便于系统分析与设计。其中，z变换的终值定理是用于求解离散时间序列在趋于无穷时的极限值的重要方法。

一、终值定理的基本概念

z变换的终值定理用于确定一个离散时间序列 $ x[n] $ 在 $ n \to \infty $ 时的极限值，即：

$$

\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1)X(z)

$$

其中，$ X(z) $ 是 $ x[n] $ 的z变换。

该定理成立的前提条件是：

- 序列 $ x[n] $ 在 $ n \to \infty $ 时存在极限；

- 极点仅位于单位圆内或原点（即系统稳定）。

二、终值定理的应用场景

三、终值定理的使用步骤

四、示例分析

设离散时间序列 $ x[n] = a^n u[n] $，其中 $ a < 1 $，则其z变换为：

$$

X(z) = \frac{z}{z - a}

$$

根据终值定理：

$$

\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1) \cdot \frac{z}{z - a} = \lim_{z \to 1} \frac{(z - 1)z}{z - a}

$$

代入 $ z = 1 $ 得：

$$

\lim_{n \to \infty} x[n] = \frac{0}{1 - a} = 0

$$

这表明当 $ a < 1 $ 时，序列 $ x[n] $ 的终值为零，符合预期。

五、注意事项

六、总结

z变换的终值定理为分析离散时间系统的稳态响应提供了一个简洁而有效的手段。通过该定理，可以快速判断序列在趋于无穷时的行为，尤其在控制系统和信号处理中具有重要应用价值。正确理解并掌握该定理，有助于提高对离散系统行为的分析能力。

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