【伴随矩阵相关公式】伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，尤其在求解逆矩阵、行列式以及矩阵的性质分析中具有重要作用。本文将对伴随矩阵的基本定义、性质及其相关公式进行总结，并通过表格形式直观展示。
一、伴随矩阵的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其伴随矩阵（或称为伴随阵）记作 $ \text{adj}(A) $，它是由 $ A $ 的各个元素的代数余子式构成的矩阵的转置。即：
$$
\text{adj}(A) = \left[ (-1)^{i+j} M_{ji} \right]_{n \times n}
$$
其中，$ M_{ij} $ 表示去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式，称为 $ a_{ij} $ 的余子式。
二、伴随矩阵的性质
1. 与原矩阵的关系：
$$
A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I
$$
其中 $ I $ 是单位矩阵。
2. 可逆矩阵的伴随矩阵：
若 $ A $ 可逆，则：
$$
\text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1}
$$
3. 伴随矩阵的行列式：
$$
\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}
$$
4. 伴随矩阵的转置：
$$
\text{adj}(A^T) = \text{adj}(A)^T
$$
5. 伴随矩阵的乘法性质：
$$
\text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A)
$$
三、伴随矩阵相关公式汇总表
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 伴随矩阵定义 | $ \text{adj}(A) = [(-1)^{i+j} M_{ji}]_{n \times n} $ | 由代数余子式组成并转置 |
| 伴随矩阵与原矩阵关系 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I $ | 用于求逆矩阵的关键公式 |
| 可逆矩阵的伴随矩阵 | $ \text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1} $ | 当 $ A $ 可逆时成立 |
| 伴随矩阵的行列式 | $ \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1} $ | 适用于任意方阵 |
| 伴随矩阵的转置 | $ \text{adj}(A^T) = \text{adj}(A)^T $ | 转置与伴随运算可交换 |
| 伴随矩阵的乘积 | $ \text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A) $ | 伴随矩阵不满足交换律 |
四、小结
伴随矩阵是研究矩阵性质的重要工具，尤其在计算逆矩阵和行列式时具有关键作用。通过对伴随矩阵的定义、性质及公式的系统整理，可以更清晰地理解其在矩阵理论中的地位和应用。掌握这些公式有助于提高线性代数问题的解决效率和准确性。
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