【除法的求导公式推导】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即除法），其导数的计算需要使用特定的法则来完成。本文将对“除法的求导公式”进行推导，并通过总结与表格形式展示其核心内容。
一、基本概念
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 均为可导函数，且 $ g(x) \neq 0 $，则它们的商 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 的导数可以通过商法则（Quotient Rule）来求解。
二、商法则的推导过程
我们从极限的定义出发，逐步推导出商法则的表达式。
1. 定义函数
设
$$
h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
$$
2. 利用导数的定义
根据导数的定义，
$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}
$$
代入 $ h(x) $ 的表达式得：
$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}
$$
3. 合并分数
将两个分数合并为一个分式：
$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot g(x + \Delta x) \cdot g(x)}
$$
4. 分子展开
分子部分可以拆分为：
$$
f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x + \Delta x) = f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x + \Delta x)
$$
整理后得到：
$$
= g(x)[f(x + \Delta x) - f(x)] - f(x)[g(x + \Delta x) - g(x)
$$
5. 代入极限
将上述结果代入极限表达式，得：
$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)[f(x + \Delta x) - f(x)] - f(x)[g(x + \Delta x) - g(x)]}{\Delta x \cdot g(x + \Delta x) \cdot g(x)}
$$
分别对分子中的两项取极限：
- 第一项：
$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)[f(x + \Delta x) - f(x)]}{\Delta x} = g(x)f'(x)
$$
- 第二项：
$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)[g(x + \Delta x) - g(x)]}{\Delta x} = f(x)g'(x)
$$
因此，整体导数为：
$$
h'(x) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
三、结论
由此得出除法的求导公式（商法则）：
$$
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
四、总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 商法则（除法求导公式） |
| 公式表达 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 使用条件 | $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 均可导，且 $ g(x) \neq 0 $ |
| 推导方法 | 从极限定义出发，结合函数差值展开和极限运算 |
| 关键步骤 | 分子拆分、极限分离、导数定义应用 |
| 应用场景 | 求解两个函数相除后的导数，如 $ \frac{x^2}{\sin x} $ 等 |
五、小结
通过上述推导过程，我们清晰地理解了“除法的求导公式”的来源及其应用方式。该公式在实际问题中广泛用于分析函数的斜率、极值点等性质，是微积分学习中的重要基础内容之一。
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