【等比数列的通项公式是什么】等比数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。掌握等比数列的通项公式对于理解数列的规律、进行相关计算具有重要意义。
一、等比数列的基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是由一个初始项和一个固定比例（公比）构成的数列。如果首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，那么数列的第 $ n $ 项可以用通项公式表示出来。
二、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $：数列的第 $ n $ 项
- $ a_1 $：数列的首项
- $ r $：公比（即相邻两项的比值）
- $ n $：项数（正整数）
三、通项公式的应用示例
下面通过几个例子说明如何使用通项公式求解等比数列中的特定项。
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公比 $ r $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ | 计算过程 |
| 1 | 2 | 3 | 2 | $ 2 \cdot 3^{0} = 2 $ |
| 2 | 2 | 3 | 6 | $ 2 \cdot 3^{1} = 6 $ |
| 3 | 2 | 3 | 18 | $ 2 \cdot 3^{2} = 18 $ |
| 4 | 5 | 2 | 40 | $ 5 \cdot 2^{3} = 40 $ |
| 5 | 10 | -2 | -160 | $ 10 \cdot (-2)^{4} = 160 $ |
> 注意：当公比为负数时，数列会出现正负交替的现象。
四、通项公式的实际意义
通项公式不仅帮助我们快速找到数列中的任意一项，还能用于：
- 求解数列的某一项
- 判断数列是否为等比数列
- 解决实际问题（如复利计算、人口增长预测等）
五、总结
等比数列的通项公式是：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
它是研究等比数列的重要工具，能够帮助我们更直观地理解数列的变化规律，并应用于多个实际场景中。掌握这一公式，有助于提升对数列的理解能力和解题效率。
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 含义 | 第 $ n $ 项等于首项乘以公比的 $ (n-1) $ 次方 |
| 应用场景 | 数列分析、金融计算、物理模型等 |
| 特点 | 当 $ r > 1 $ 时，数列递增；当 $ 0 < r < 1 $ 时，数列递减；当 $ r < 0 $ 时，数列正负交替 |
如需进一步了解等比数列的求和公式或其他性质，可继续深入学习。
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