【定积分求心形线所围成的面积】在数学中，心形线是一种常见的极坐标曲线，其形状类似于一个心形。它通常由以下极坐标方程表示：
$$ r = a(1 + \cos\theta) $$
其中 $ a $ 是常数，决定心形线的大小和形状。
为了求出心形线所围成的面积，我们可以使用定积分的方法。由于心形线是关于极坐标的对称图形，我们只需要计算其在一个周期内的面积，然后乘以相应的对称系数即可。
一、面积公式
对于极坐标下的曲线 $ r = r(\theta) $，其所围成的面积 $ A $ 可以通过以下公式计算：
$$
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2 d\theta
$$
对于心形线 $ r = a(1 + \cos\theta) $，其图像在 $ \theta \in [0, 2\pi] $ 内完成一个完整的循环。因此，我们只需将积分区间设为 $ [0, 2\pi] $ 即可。
二、具体计算步骤
1. 代入公式：
$$
A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} [a(1 + \cos\theta)]^2 d\theta
$$
2. 展开平方项：
$$
[a(1 + \cos\theta)]^2 = a^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)
$$
3. 代入积分表达式：
$$
A = \frac{1}{2} a^2 \int_0^{2\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta
$$
4. 分项积分：
- $ \int_0^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi $
- $ \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0 $
- $ \int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \pi $
5. 代入结果：
$$
A = \frac{1}{2} a^2 (2\pi + 0 + \pi) = \frac{1}{2} a^2 \cdot 3\pi = \frac{3}{2} \pi a^2
$$
三、总结与表格展示
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 心形线的极坐标方程为 $ r = a(1 + \cos\theta) $ |
| 2 | 面积公式为 $ A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} [r(\theta)]^2 d\theta $ |
| 3 | 展开后得到 $ A = \frac{1}{2} a^2 \int_0^{2\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta $ |
| 4 | 分项积分后得 $ A = \frac{1}{2} a^2 (2\pi + 0 + \pi) $ |
| 5 | 最终结果为 $ A = \frac{3}{2} \pi a^2 $ |
四、结论
通过定积分方法，我们成功计算出了心形线所围成的面积。最终结果为：
$$
\boxed{A = \frac{3}{2} \pi a^2}
$$
这一结果表明，心形线所围成的面积与其半径参数 $ a $ 的平方成正比，且比例系数为 $ \frac{3}{2}\pi $。
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