【正余弦定理公式大全】在三角形的求解过程中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要的工具，它们可以帮助我们根据已知的边角关系来求解未知的边或角。下面将对这两个定理进行总结，并通过表格形式展示其核心内容。
一、正弦定理（Sine Law）
定义：
在一个任意三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等，即：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中：
- $ a, b, c $ 分别为三角形的三边；
- $ A, B, C $ 分别为与边 $ a, b, c $ 所对的角；
- $ R $ 为三角形外接圆的半径。
适用情况：
- 已知两角和一边（AAS 或 ASA）；
- 已知两边及其中一边的对角（SSA，需注意可能有多种解）。
二、余弦定理（Cosine Law）
定义：
在一个任意三角形中，任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍乘积，即：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$
适用情况：
- 已知两边及其夹角（SAS）；
- 已知三边（SSS），可用来求角度。
三、正余弦定理对比表
| 定理名称 | 公式表达 | 用途 | 适用条件 |
| 正弦定理 | $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $ | 求边或角 | 已知两角和一边，或两边及其中一边的对角 |
| 余弦定理 | $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ 等 | 求边或角 | 已知两边及夹角，或已知三边求角 |
四、应用示例
例1（正弦定理）：
在△ABC中，已知 $ A = 30^\circ $，$ B = 45^\circ $，边 $ a = 5 $，求边 $ b $。
解：
由正弦定理得：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
$$
$$
\Rightarrow \frac{5}{0.5} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow 10 = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow b = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
$$
例2（余弦定理）：
在△ABC中，已知 $ a = 7 $，$ b = 5 $，$ C = 60^\circ $，求边 $ c $。
解：
由余弦定理得：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos 60^\circ
$$
$$
= 49 + 25 - 70 \times 0.5 = 74 - 35 = 39 \Rightarrow c = \sqrt{39}
$$
五、小结
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的核心工具，二者各有侧重，适用于不同的已知条件。掌握好这两个定理，能够有效提升解题效率和准确性。在实际应用中，应根据题目给出的条件灵活选择使用哪种定理。
