【刚体力学基础常用公式】在物理学中，刚体力学是研究刚体在力作用下运动规律的分支。刚体是指在任何外力作用下，其形状和大小都不发生改变的理想化物体。刚体力学的基础内容包括角位移、角速度、角加速度、力矩、转动惯量、角动量等基本概念及其相关公式。以下是对这些内容的总结与归纳。
一、基本概念与公式
| 概念 | 定义 | 公式 | 单位 |
| 角位移 | 刚体绕某轴转过的角度 | $ \theta $ | 弧度（rad） |
| 角速度 | 单位时间内转过的角度 | $ \omega = \frac{d\theta}{dt} $ | 弧度/秒（rad/s） |
| 角加速度 | 角速度的变化率 | $ \alpha = \frac{d\omega}{dt} $ | 弧度/秒²（rad/s²） |
| 线速度 | 质点沿圆周运动的速度 | $ v = r\omega $ | 米/秒（m/s） |
| 线加速度 | 质点沿圆周运动的加速度 | $ a = r\alpha $ | 米/秒²（m/s²） |
| 力矩 | 力对某点或轴的转动效应 | $ \tau = r \times F $ | 牛·米（N·m） |
| 转动惯量 | 刚体对某一轴的转动阻力 | $ I = \sum m_i r_i^2 $ | 千克·平方米（kg·m²） |
| 角动量 | 刚体绕某轴的转动动量 | $ L = I\omega $ | 千克·平方米/秒（kg·m²/s） |
| 动能 | 刚体转动时的动能 | $ K = \frac{1}{2} I \omega^2 $ | 焦耳（J） |
二、常见运动方程
刚体在旋转运动中的基本方程类似于平动运动，但以角量形式表示：
| 运动类型 | 基本方程 | 说明 |
| 匀角加速运动 | $ \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 $ | 类比于匀变速直线运动 |
| 匀角速运动 | $ \theta = \theta_0 + \omega t $ | 角加速度为零 |
| 角速度与角位移关系 | $ \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta $ | 无时间变量的运动方程 |
| 力矩与角加速度关系 | $ \tau = I\alpha $ | 牛顿第二定律的转动形式 |
三、典型物体的转动惯量
不同形状的刚体绕特定轴的转动惯量如下表所示：
| 物体 | 转动轴 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 细杆 | 通过中心且垂直于杆 | $ I = \frac{1}{12} m l^2 $ | 长度为 $ l $，质量为 $ m $ |
| 细杆 | 通过一端且垂直于杆 | $ I = \frac{1}{3} m l^2 $ | 同上 |
| 圆盘 | 通过中心且垂直于盘面 | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | 半径为 $ R $ |
| 空心球壳 | 通过中心 | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | 半径为 $ R $ |
| 实心球 | 通过中心 | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | 半径为 $ R $ |
| 空心圆柱 | 通过中心轴 | $ I = m R^2 $ | 半径为 $ R $ |
四、角动量守恒
当系统所受合外力矩为零时，系统的总角动量保持不变，即：
$$
L_{\text{初始}} = L_{\text{末}} \quad \text{或} \quad I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2
$$
此原理广泛应用于天体运动、陀螺仪、花样滑冰等领域。
五、能量守恒
在刚体的旋转过程中，若无外力做功，则其动能与势能之和保持不变。例如：
$$
K_1 + U_1 = K_2 + U_2
$$
其中 $ K $ 表示动能，$ U $ 表示势能。
总结
刚体力学是经典力学的重要组成部分，其核心在于理解刚体的旋转运动规律。掌握角位移、角速度、角加速度、力矩、转动惯量、角动量等基本概念及其相关公式，有助于分析各种旋转问题。通过合理运用这些公式，可以解决如飞轮、陀螺、行星轨道等实际物理问题。
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