【超几何分布习题】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散型概率分布，常用于描述在不放回抽样情况下，成功事件发生的次数。与二项分布不同，超几何分布适用于有限总体且抽样不放回的情形，因此在实际问题中有着广泛的应用。
一、什么是超几何分布？
设一个总体中含有 $ N $ 个元素，其中有 $ K $ 个“成功”元素（如合格品、优质品等），其余 $ N-K $ 个为“失败”元素。从该总体中随机抽取 $ n $ 个样本，不放回地进行抽样，那么在这 $ n $ 个样本中恰好有 $ k $ 个“成功”元素的概率服从超几何分布。
其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
$$
其中：
- $ N $：总体容量；
- $ K $：成功个体数量；
- $ n $：抽取样本数量；
- $ k $：在样本中成功的个数。
二、典型例题分析
例题1
某批产品共有 100 件，其中 20 件是次品。现从中随机抽取 5 件，求恰好抽到 2 件次品的概率。
解：
这里，$ N = 100 $，$ K = 20 $，$ n = 5 $，$ k = 2 $
代入公式得：
$$
P(X = 2) = \frac{\binom{20}{2} \binom{80}{3}}{\binom{100}{5}}
$$
计算各项组合数：
- $ \binom{20}{2} = 190 $
- $ \binom{80}{3} = 82160 $
- $ \binom{100}{5} = 75287520 $
所以：
$$
P(X = 2) = \frac{190 \times 82160}{75287520} \approx 0.214
$$
即抽到 2 件次品的概率约为 21.4%。
例题2
一个班级有 40 名学生，其中 12 名是男生。老师从班上随机选出 6 名学生参加比赛，问恰好选中 3 名男生的概率是多少？
解：
$ N = 40 $，$ K = 12 $，$ n = 6 $，$ k = 3 $
$$
P(X = 3) = \frac{\binom{12}{3} \binom{28}{3}}{\binom{40}{6}}
$$
计算得：
- $ \binom{12}{3} = 220 $
- $ \binom{28}{3} = 3276 $
- $ \binom{40}{6} = 3838380 $
$$
P(X = 3) = \frac{220 \times 3276}{3838380} \approx 0.192
$$
即选中 3 名男生的概率约为 19.2%。
三、超几何分布的应用场景
1. 质量控制：在生产过程中，对一批产品进行抽检，判断是否符合标准。
2. 市场调研：从目标客户群体中随机抽取样本进行调查。
3. 生物统计：在实验中对特定基因或特征的个体进行抽样研究。
4. 抽奖活动：确定某种奖品在一定数量中被抽中的概率。
四、与二项分布的区别
虽然超几何分布和二项分布都用于描述成功事件的出现次数，但它们之间存在关键区别：
| 特征 | 超几何分布 | 二项分布 |
|------|-------------|----------|
| 抽样方式 | 不放回 | 放回 |
| 总体大小 | 有限 | 无限或可视为无限 |
| 成功概率 | 随样本变化 | 恒定 |
| 应用场景 | 小样本、有限总体 | 大样本、独立事件 |
五、总结
超几何分布作为概率论中的重要工具，能够更准确地描述不放回抽样情况下的事件概率。掌握其基本公式和应用场景，有助于我们在实际问题中做出更合理的统计推断和决策。通过多做相关习题，可以加深对该分布的理解，并提升解决实际问题的能力。
