【二项分布求概率公式】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立的伯努利试验中，恰好发生k次成功事件的概率。其核心在于每个试验只有两种可能的结果（成功或失败），且每次试验的成功概率相同。
一、二项分布的基本概念
- 试验次数：n（固定）
- 每次试验的成功概率：p（0 ≤ p ≤ 1）
- 失败概率：q = 1 - p
- 成功次数：k（0 ≤ k ≤ n）
二项分布的随机变量X表示在n次独立试验中成功的次数，记作X ~ B(n, p)。
二、二项分布求概率的公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个元素中选出k个的方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
三、使用示例
假设某次考试通过率为60%（p=0.6），共有5人参加考试，求恰好有3人通过的概率。
根据公式：
$$
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2
$$
计算步骤如下：
- $ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 $
- $ (0.6)^3 = 0.216 $
- $ (0.4)^2 = 0.16 $
- 所以：$ P(X = 3) = 10 \times 0.216 \times 0.16 = 0.3456 $
即：有34.56%的概率恰好有3人通过考试。
四、二项分布概率计算表（部分）
| 成功次数(k) | 组合数 C(n,k) | p^k | (1-p)^{n-k} | 概率 P(X=k) |
| 0 | 1 | 1 | 0.01024 | 0.01024 |
| 1 | 5 | 0.6 | 0.0256 | 0.0768 |
| 2 | 10 | 0.36 | 0.064 | 0.2304 |
| 3 | 10 | 0.216 | 0.16 | 0.3456 |
| 4 | 5 | 0.1296 | 0.4 | 0.2592 |
| 5 | 1 | 0.07776 | 1 | 0.07776 |
注：本表基于 n=5, p=0.6 的情况
五、总结
二项分布是研究有限次独立重复试验中成功次数的重要工具，其核心公式为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
通过组合数和概率乘积的结合，可以快速计算出不同成功次数下的概率值。表格形式有助于直观理解不同k值对应的概率分布情况，适用于实际问题中的预测与分析。
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